凹面闪耀光栅原理及实现

凹面光栅

在凹的球面或非球面上的反射式光栅称为凹面衍射光栅。这种元件的特点是将衍射光栅的色散作用和凹面反射镜的聚焦成像作用结合起来，既有色散，又有聚焦的功能。
减少光学元件数目，能够减少光在元件反射过程中的能量损失，有利于提升光谱仪的性能，简化光谱仪的设计。
一般，凹面光栅都是制造在球面上，刻槽是等分在它的弦上（平行于通过光栅顶点的切线），如图所示。

这种光栅的缺点是有较大的像差，存在严重的像散。这是用机械刻划方法制造无法改善的，只能从装置方面（入射狭缝、凹面光栅和底片或出射狭缝三者的相对位置）进行优化。近年来，研究制造消像散的凹面光栅已取得较大的进展。如用全息法制造的IV型凹面全息光栅，像散就大大减小了。

凹面光栅的光栅方程

根据平面光栅的光程计算方法，可知相邻两束光的光程差由光栅的刻槽宽度，入射光线相对于光栅平面的角度和光线相对于刻槽反射面的角度。[[平面光栅的原理及实现]]
凹面光栅的刻槽尺寸远小于其曲率半径，因此对于相邻的刻槽，其光程差与平面光栅是相同的，即相邻两光线的光程差为：

ΔL=d(sini+sinθ)

其中：

为沿切线方向的刻槽宽度，

为入射角度，

为衍射角度。
对应的衍射主极大时，出现亮纹，凹面光栅的光栅方程为：

d(sini+sinθ)=jλ

因为其光栅方程与平面光栅的一样，所以凹面光栅也具有色散的功能。

罗兰圆光谱仪

怎么算是聚焦呢？针对光谱仪来说，就是从狭缝上A点发出的波长为

的光线，不论其入射角如何，都在同一个点

A′

处形成衍射主极大，那么

A′

点到

点的光程必为极值。

上图是凹面光栅的光程计算示意图，可以得到

点到

A′

点的光程为：

APA′―=r+r′−y(sini+sinθ)+y22[(cos2ir−cosiρ)+(cos2θr′−cosθρ)]

衍射主极大时，

的一次方项

y(sini+sinθ)=y⋅mλd

与入射角无关。我们只需考虑二次方项为0，即可认为

A′

是

的像。因

不为0，则可得凹面光栅的聚焦条件为：

(cos2ir−cosiρ)+(cos2θr′−cosθρ)=0

基于该聚焦条件，罗兰圆装置的原则是令上式中的两项分别为0，即

cos2ir−cosiρ=0

cos2θr′−cosθρ=0

经过整理可以得到：

ρcosi=r,ρcosθ=r′

上式是极坐标表示的圆的方程，圆的直径等于光栅的曲率半径

。这个圆通常被称为罗兰圆。式中没有光栅常数

，罗兰圆的尺寸只与光栅的曲率半径

相关。
这个方程表明，如果狭缝点

位于罗兰圆上，则波长为

的光线经光栅衍射后形成的主极大点

A′

也在罗兰圆上。也就是说在罗兰圆上可得到位于A点的光源的光谱。
按照这个条件规定的点

和它的像

A′

以及光栅的位置关系来放置入射狭缝、底片或出射狭缝及光栅的装置称为罗兰圆装置。

罗兰圆装置的问题

除非出射狭缝（或照相底片）比入射狭缝高得多，否则罗兰圆装置的像散通常会阻止大部分衍射光被记录下来，这大大降低了仪器的效率。增加出射狭缝的高度有助于收集更多的光，但由于图像是弯曲的，出射狭缝也必须是弯曲的，以保持最佳分辨率。使问题更加复杂的是，这种曲率取决于衍射波长，因此每个出射狭缝都需要独特的曲率。很少有仪器会如此麻烦，所以大多数罗兰圆光栅装置只收集入射到光栅上的一小部分光。由于这个原因，罗兰圆装置对于强光源（如太阳光谱）的观测是足够的，但对于不太强的光源（如恒星光谱）则不行。
基于罗兰圆光谱仪的仪器（如直读仪和原子吸收仪器）的成像特性可以通过使用非经典光栅来改善。例如，用凹面像差减小的光栅代替通常的凹面光栅，可以大大改善像散。以这种方式改进的罗兰圆安装座能够让更多的衍射光通过出射狭缝，但也会在一定程度上降低谱线分辨率。

平场光谱仪

罗兰圆装置较为复杂，我们可以通过改变沟槽图案（如第一代或第二代全息光栅或 VLS 光栅上的图案）来修改焦曲线，使其在感兴趣的光谱范围内变得几乎呈线性，见下图。图中从 λ1 到 λ2（>λ1）的光谱成像在一条线上。
但是我们通常不能制造出能在一条线上完美成像的光栅，不过足够平坦的表面上形成光谱的光栅一定程度上可用于中等分辨率的线性阵列探测器。这一发展对光谱仪设计产生了重大影响。

通过对槽型进行垂直光阑锁定技术（VLS）或干涉修正，也可以减小切向和径向焦曲线之间的相对位移。通过这种方式，在减小平场光谱仪的像散的同时，可以保持（或提高）其分辨率；后者的效果使得更多的光能够通过出射狭缝（或照射到探测器元件上）。

切向和径向焦曲线

切向焦曲线（tangential focal curve)
- 含义：与光栅刻线方向平行的平面内的焦曲线。在这个平面上，光线经过光栅衍射后，在特定条件下会聚焦形成一条曲线，这条曲线就是主切向焦曲线。它描述了在切向方向上光线的聚焦位置随波长或其他因素的变化关系。
- 光谱线聚焦：对于光谱仪而言，主切向焦曲线决定了在切向方向上光谱线的清晰度和位置。如果光学系统能够使不同波长的光准确聚焦在主切向焦曲线上，那么在这个方向上观察到的光谱线将更加清晰、锐利，有助于准确测量光谱线的位置和形状，从而获取精确的光谱信息。
- 影响光谱分辨率：切向方向上的聚焦精度直接影响光谱仪的分辨率。当主切向焦曲线能够良好地匹配光谱仪的设计要求时，相邻波长的光谱线在切向方向上能够更好地分开，提高了光谱仪分辨细微光谱结构的能力。反之，如果主切向焦曲线存在偏差，可能导致光谱线在切向方向上模糊或重叠，降低光谱分辨率。
径向焦曲线（sagittal focal curve)
- 含义：与光栅刻线方向垂直且指向曲率中心（对于凹面光栅）或远离曲率中心（对于凸面光栅）的平面内的焦曲线。光线在这个平面上经过光栅衍射后，其聚焦位置形成的曲线就是径向焦曲线，它反映了在径向方向上光线的聚焦特性。
- 确定光谱线宽度和形状：主弧矢焦曲线在径向方向上控制着光谱线的宽度和形状。准确的径向聚焦能够使光谱线在这个方向上保持窄而对称的形状，有利于准确分析光谱线的特征。如果主弧矢焦曲线不理想，光谱线在径向方向上可能会变宽、变形，影响对光谱的定性和定量分析。
- 与仪器整体性能相关：在光谱仪的设计和性能评估中，主弧矢焦曲线的特性是重要考虑因素之一。光学系统的各个元件需要协同工作，以确保在主弧矢焦曲线上实现良好的聚焦效果。这涉及到光栅的曲率设计、光学元件的排列以及像差校正等方面，共同影响着光谱仪在径向方向上的光学性能，进而影响整个仪器对光谱的测量精度和准确性。
  径向和切向焦曲线的关系，影响着光谱仪的色谱分辨率，具体来说：
当切向和径向焦曲线离得较远时，意味着光线在两个相互垂直的方向上聚焦点差异较大，此时光线无法在同一平面或相近位置清晰成像，导致光谱线在成像平面上出现严重的模糊和变形，降低了系统对光谱特征的精确分辨能力，只能用于低分辨率的光谱仪中。
当切向和径向焦曲线离得近时，光线在两个方向上的聚焦点相对接近，光谱线的模糊和变形程度减轻，能够更清晰地分辨出光谱线的轮廓和位置；但由于焦曲线仍未完全重合，仍不能用于对分辨率要求极高的应用中。
将切向和径向焦曲线交叉时，光线在两个方向上能够在同一位置或非常接近的位置聚焦，此时光谱线在成像平面上呈现出清晰、锐利的形态，对应的光谱仪能够实现最高的光谱分辨率。

上图中，较粗的线为主切向焦曲线，较细的线为主径向焦曲线。（a）经典凹面光栅的焦曲线，在偏离法线照明下 —— 黑色曲线为罗兰圆的一段弧。（b）选择合适的切向焦曲线，使其部分接近线性，适用于平场光谱仪探测器。（c）选择合适的径向焦曲线，使其与切向焦曲线相交，可以提供无像散图像和更高的分辨率。